Un peu d’histoire...
Avec le Décret du 3 février 1869 signé par Bonaparte mais rédigé par Victor Duruy, lequel à l’époque était ministre de l’Instruction Publique, la gymnastique devient une discipline scolaire d’enseignement obligatoire dans le secondaire (Gleyse, 2005).
Puis, la Loi du 27 janvier 1880 dite "Loi Georges", soutenue par Jules Ferry (1882), rend la gymnastique obligatoire dans “tous les établissements d’instruction publique de garçons dépendant de l’Etat, des départements, des communes”...
L’idée à l’origine de cette loi est simple : Comme on apprend à l’école à lire, à écrire et à compter, il faut apprendre à se servir de son corps.
Gymnastique au 19^ème siècle puis Education Physique et enfin Education Physique et Sportive (EPS), depuis son origine, cette discipline scolaire poursuit, entre autres, une finalité hygiénique au bénéfice de la santé des élèves.
Ceci, notamment, explique que l’EPS soit une discipline scolaire obligatoire pour tous.

L’EPS, une discipline scolaire pour tous... obligatoire
Le Bulletin officiel de l’Education Nationale (BO EN) du 28/08/2008 rappelle que tous les élèves sont tenus de participer au cours d’EPS.
Même les élèves déclarés inaptes partiels par un médecin sont tenus d’assister au cours d’EPS. L’enseignant adaptera son enseignement en fonction de chaque cas voire dispensera l’élève de pratiquer tout ou partie de l’activité physique sans pour autant le dispenser de participer. Même dans cette hypothèse, l’élève sera sollicité pour assurer des rôles méthodologiques et sociaux tels que le co-aménagement des espaces de pratique, l’arbitrage, le coaching de camarades... Ces compétences méthodologiques et sociales seront évaluées voire validées, pouvant faire l’objet de notes.
Ainsi et sauf exceptions : " [...] la participation et la pratique du plus grand nombre sont visés, quelles que soient les possibilités des élèves ".

Exceptions
Rares sont les cas d’élèves totalement inaptes, à fortiori sur la durée de l’année scolaire : Maladie ou traitement particulier, hospitalisation...
Cependant et dans la mesure de leur impossibilité déclarée médicalement et à défaut de pouvoir participer (arbitrage, coaching...) en plus d’être inaptes à pratiquer, ces rares élèves ne vont pas en cours d’EPS.
Par ailleurs et conformément au décret n°88-977 du 11 octobre 1988 :
Seuls le chef d’établissement et/ou l’enseignant peuvent dispenser un élève d’EPS.

Dispense ou inaptitude ?
Depuis la circulaire 90-107 du 17 mai 1990, le certificat d’inaptitude partielle, en lien ci-dessous, remplace celui de dispense médicale.

http://www.lycee-international.ac-versailles.fr/IMG/pdf/certificat_medical_acad._versailles.pdf

Ce document imprimable est à présenter au médecin en fin de consultation.

Un médecin ne peut ainsi plus dispenser un élève d’EPS, il ne peut que le déclarer plus ou moins inapte.
Par conséquent, toute dispense médicale délivrée par un médecin n’a, depuis 1990, plus aucune validité juridique ni administrative. En effet, le médecin est tenu de délivrer un certificat d’inaptitude partielle précisant les contre-indications et les capacités : Ce qu’il peut quand même faire (types d’exercices, efforts...).

Le certificat médical d’inaptitude partielle type (en lien ci-dessus) est celui reconnu par Arrêté du 13/09/1989, c’est au médecin de se prononcer sur "la nature et la forme de l’inaptitude" et ce qu’elle offre comme capacités.

Conclusion
Seuls le chef d’établissement ou l’enseignant peuvent dispenser un élève d’EPS (Décret n°88-977 du 11 octobre 1988).
Il n’existe plus de dispense médicale d’EPS valide depuis la Circulaire 90-107 du 17 mai 1990 : Il est depuis question de certificat d’inaptitude partielle qui doit être délivré par un médecin (formulaire officiel), précisant les contre-indications et les capacités. En conséquence, un élève déclaré partiellement inapte (contre-indications) est donc partiellement apte (capacités).
Les inaptitudes totales et/ou à l’année restent exceptionnelles.
Pas plus que les médecins, les parents n’ont aucune prérogative pour dispenser leur enfant d’EPS, ni de mathématiques, d’histoire-géographie ou toute discipline scolaire... l’école étant par ailleurs obligatoire jusqu’à seize ans.

Références :

• Bonaparte, L.-N. (1869). Décret portant organisation de l’enseignement de la gymnastique. Bulletin administratif de l’instruction publique. Tome 11-201 : 246-248.
• Ferry, J. (1882). Circulaire aux préfets sur l’enseignement gymnastique et militaire dans les écoles primaires. Bulletin administratif de l’instruction publique. 25-485 : 726-730.
• Gleyse, J. (2005). Quelques croyances en éducation physique au xx^ème siècle, en France, in Jacques Gleyse (dir.), Éducation physique xx^ème siècle Approches historique et culturelle. Editions Vigot. pp. 183-202.
• Ministère de l’Education Nationale. (1988). Décret n°88-977 du 11 octobre 1988 Relatif au contrôle médical des inaptitudes à la pratique de l’éducation physique et sportive dans les établissement d’enseignement. JORF du 15 octobre 1988 page 13009.
• Ministère de l’Education Nationale. (1989). Arrêté du 13 septembre 1989 relatif au contrôle médical des inaptitudes à la pratique de l’éducation physique et sportive dans les établissements d’enseignement..Version consolidée au 15 juillet 2016.
• Ministère de l’Education Nationale, Jeunesse et Sports.(1990). Contrôle médical des inaptitudes à la pratique de l’éducation physique et sportive dans les établissement d’enseignement Circulaire n° 90-107 du 17 mai 1990.
• Ministère de l’Education Nationale. (2008). Programme de l’enseignement d’éducation physique et sportive pour les classes de sixième, de cinquième, de quatrième et de troisième du collège. Bulletin officiel de l’Education Nationale (BO EN) du 28/08/2008.